miércoles, 1 de junio de 2011

3.4 Cálculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones.

CENTROIDE
Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos lo s puntos, la misma figurará como factor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto desparecerá .
Las expresiones definen entonces una propiedad del cuepo puramente geométrico, sin referencia alguna a sus propiedades físicas, cuando el cálculo se refiera unicamente a una figura geométrica, se utilizará el término centroide.
Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es el centroide de la figura. Cuando se hable de un cuerpo físico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aqullos no coincidarán, en general.
Los cálculos relacionados con los centroides caen dentro de 3 categorías clarmente definidas según que la forma del cuerpo en cuestión pueda ser representada por una línea, una superficie o un volumen
Para líneas.-
En x = (Distancia del eje X x (derivada de la línea))/masa
En y = (Distancia del eje Y x (derivada de la línea))/masa
En z = (Distancia del eje Z x (derivada de la línea))/masa
Para superficies.-
En x = (Distancia del eje X x (derivada del área))/masa
En y = (Distancia del eje Y x (derivada del área))/masa
En z = (Distancia del eje Z x (derivada del área))/masa
Para volumenes.-
En x = (Distancia del eje X x (derivada del volumen))/masa
En y = (Distancia del eje Y x (derivada del volumen))/masa
En z = (Distancia del eje Z x (derivada del volumen))/masa
Si una figura geométrica posee un eje de simetría, el centroide de la figura coincide con este eje.
FIGURA GEOMÉTRICA LOCALIZACIÓN DEL CENTROIDE
Perímetro del triángulo Centro del círculo inscrito del triángulo cuyos vértices son l os puntos medios
de los lados del triángulo dado.
Arco del semicírculo de radio R Distancia desde el diámetro = 2R
Arco de 2 radianes de un círculo de Dist. desde el centro del círculo = R sin
radio R
Area del triángulo Intersección de las medianas
Area del cuadrilátero Intersección de las diagonales de un
paralelogramo cuyos lados pasan a
través de los puntos de trisección
adyacentes a los pares de lados
consecutivos del cuadrilátero.
Area del semicírculo de radio R Dist. desde el diámetro = 4R
3
Area del sector circular del radio R Distancia desde el centro del círculo
y del ángulo central 2 radianes. = 2 R sin
3
Area de la semielipse de altura h Dist. desde la base = 4h
3
Area del cuadrante de una elipse Dist. desde el eje menor = 4a , dist.
de semiejes mayor y menor (a y b). 3
desde el eje mayor = 4b
3
Area del segmento parabólico Dist. desde la base = 2/5 h
derecho de altura h.
FIGURA GEOMÉTRICA LOCALIZACIÓN DEL CENTROIDE
Area lateral de una pirámide regular o un Dist. desde la base = 1/3 h
cono circular.
Area de un hemisferios de radio R Distancia desde la base =1/2 R
Volumen de piramide o cono ¼ de la distancia desde el centro de la base al vértice de la pirámide o cono.
Volumen de la porción de una pirámide En la línea uniendo los centroi o cono con d como la distancia entre de las 2 bases a la distancia los centroides de las 2 bases y k como desde el centroide a la base el radio de similaridad de la base mayor menor a la menor =1/4 d ((1+2k+3k2)/(1+k+k2)) Volumen del hemisferio de radio R Distancia desde la base = 3/8 R Volumen de revolución de altura h obtenida revolviendo una semielipse Distancia desde la base = 3/8 h por sus ejes de simetría
Volumen de parabola de revolución Distancia desde la base = 1/3 h de altura h
Aplicación del centroide.-
El centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actuan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente.
Relación del centroide con el moméntum.-
En el caso de los puentes el centroide nos ayuda a ver como hacer para que si se rompe un cable que sostenga al puente no cree torque la rotura del cable, es decir nos ayuda a equilibrar un puente o figuras irregulares, para que si afecta algo al sistema no suceda nada, que pueda cambiar la figura.
En conclusión para localizar el centroide de una figura, se utilizan las tablas de centroide, en donde, detallando cada figura para encontrar sus coordenadas primas para el cálculo general, se desarrolla un procedimiento establecido:

  • Se obtiene el área total de la figura, encontrando su centroide en base a la tabla del indicado, es decir, sus coordenadas primas.

  • Se extrae cada figura que obstruye exista un objeto con volumen igual en todos los puntos

  • Se obtiene el área de la figura extraída, encontrando su centroide en base a la tabla del indicado, es decir sus coordenadas primas, y así, con todas las figuras que conformen el cuerpo geométrico

  • Se procede con la siguiente fórmula:
    A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...
    x= A1t - Af1 - Af2 ...
    A1t(y1t) - Af1(yf1) - Af2(yf2)...
    y= A1t - Af1 - Af2 ...
    Ejemplo.- Localizar el centroide de la siguiente figura
    A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...
    x= A1t - Af1 - Af2 ...
    3,5(63) - 6,33(3) - 2,5(1)
    x= 63 - 3 - 1
    x = 3,37 m
    Ejemplo.- Encontrar el centroide de la figura
    A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...
    x= A1t - Af1 - Af2 ...
    4,5(90) - 8,28(14,13) - 1,33(4)
    x= 90 - 14,13 -4
    x = 3,93326 m
    Encontrar el centroide de la figura
    A1t(x1t) - Af1(xf1) - Af2(xf2)...
    x= A1t - Af1 - Af2 ...
    3,5(77) - 6,33(4) - 3(4) - 3 (0,25)
    x= 77 - 4 - 4 - (0,25)
    x = 3,41 m

    BIBLIOGRAFÍA:
    • SELBY, Samuel M, “STANDARD MATHEMATIC TABLES”, The chemical Rubber Co. Ohio, USA. 1964, 1965, 1967, 1969, diez y siete ava edición.
    • WILSON, Jerry D, FISICA, Prentice Hall, Segunda Edición, Tomo 1, México, 194-198. 260-261.
    • BLATT, Frank J. “FUNDAMENTOS DE FISICA”, 3ra edición, Prentice Hall, México, 129-136.

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