Teorema de Taylor. Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
Existen series de Taylor para: Función exponencial y función Coseno.
Función e
Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.
Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de como se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie.
Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se irá llenando la serie mientras más elementos se le agreguen para que el resultado sea más preciso. Todo esto fue para ver como es la serie de la función e, ahora para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya está.
Función Coseno
Para el coseno el procedimiento es el mismo.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.
Primero se deriva varias veces la función y se sustituye en valor de "a" en cada una para observar el patrón.
Despues se va llenando la serie de Taylor para despues hacer una ecuacion general:
Para otras funciones continuas diferenciales, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos
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